1 Est-ce  du temps que nous avons besoin ?
2 Est-ce le temps (…)* dont nous avons besoin ?

Le pronom relatif reprend, dans la deuxième proposition (soulignée), le nom temps.
dont « contient » toujours l’idée exprimée par la préposition « de ; or,  elle déjà exprimée par « du » dans la phrase 1 et non dans la phrase 2.
Voici pourquoi « que » est suffisant en P1 et qu’il faut « dont » en P2.

* l’emploi de l’article défini est justifié par le contexte. En général il sera précisé; par exemple : le temps du repos

Est-ce peut-être de temps que nous avons besoin ? >
« De » est partitif : un peu de ou beaucoup de  ou un laps de
« Du »contient l’article défini = de le – Ce choix est donc  possible

Bonjour,

La formulation : « Nous avons besoin du temps » est incorrecte sauf si le temps est quelque chose de défini. ( Un journal suisse par exemple )

Si vous avez besoin d’une période indéterminée, alors la bonne formulation est  : « Nous avons besoin de temps » et dans ce cas l’usage de dont  est proscrit.
votre phrase devient : « Peut-être est-ce de temps que nous avons besoin ? »