Ce mot (et ses variantes graphiques ennième et n-ième) est apparu au cours du XXe siècle et sa formation atypique a semé le trouble.
L’excellent billet du site Parler français (cité par ailleurs) rappelle bien ces incertitudes et le fait de pratiquer les deux formes : l’énième, cet énième (avec liaison naturelle, comme dans cet énergumène) ou le énième, ce énième (sans la  liaison, ce qui s’appelle une disjonction). Mais il tranche finalement en faveur de ce second cas sans vraie raison.
Son argument n’est en effet valable que si la lettre est isolée de manière monosyllabique car les seuls vrais cas de disjonction d’usage portent sur des monosyllabes où la liaison pose des problèmes de compréhension : le oui franc et massif au référendum (et non l’oui), le h aspiré est un phonème en linguistique (et non l‘h). S’y ajoutent quelques rares cas de mots étrangers (le ouistiti et non l‘ouistiti) ou  litigieux (hyène, héros par exemple).
En résumé :
– à partir du moment ou la lettre n a été intégrée et digérée dans un mot, elle perd son statut de monosyllabe, Le nouveau mot suit la règle et on doit faire les liaisons et élisions normales : cet énième, l’ennième.
– sinon, on ne les fait pas (disjonction) : ce n-ième, le nᵉ (formes non régulières que je déconseille personnellement)
Vous remarquerez au passage que la prononciation n’est pas strictement identique dans les deux situations car on détache plus nettement la lettre dans le second cas.