Le cnrtl suggère que pour partir ou dormir tranquille, il n’y ait pas d’accord mais tous les auteurs ne pratiquent pas ainsi. Il y a un excellent article d’Ekablog sur ce point, je vous donnerai le lien plus tard.
Il me semble que tranquillement doit remplacer l’adjectif tranquille quand il s’applique à un verbe.

Continuez tranquillement ! Partez tranquillement !
Ce qui signifie que l’action est qualifiée.
S’il s’agit de qualifier des personnes, il faut accorder l’adjectif à celles-ci : partez tranquilles ! signifie partez avec l’esprit tranquille ou en étant tranquilles.