« Nous ne détestons ni l’anglais ni le français » est la négation de « nous détestons l’anglais ou le français » (au moins un des deux).
— Est-ce que tu détestes l’anglais ? ou le français ? interrogea le professeur
— Aucun des deux, M’sieur ! Je ne déteste ni l’anglais ni le français, répondit Pierre

On voit que la formule en ni-ni n’est pas la négation de « nous détestons l’anglais et le français » (les deux).
Il n’y a pas de formule pour réfuter cette phrase qui additionne.
— Est-ce que tu détestes tellement l’anglais et le français ? demanda le professeur
— Oh non, M’sieur ! On ne peut pas dire que je déteste l’anglais et le français… Je ne déteste pas l’anglais-Et-le-français, répondit Pierre en appuyant malicieusement sur le ET.
— Je ne comprends pas, insista le professeur
— Je ne déteste pas ces deux matières, dit Pierre…
Le professeur s’éloigna en se grattant le menton. Peut-être Pierre détestait-il quand même une de ces deux matières, vu qu’il avait insisté sur le ET. Mais peut-être aussi qu’il n’en détestait aucune, et sa réponse restait valide…

En logique, on l’écrit ainsi :
[ non (A ou B) ] <=> [ (non A) et (non B) ]
[ non (A et B) ] <=> [ (non A) ou (non B) ]
Ce qui donne en français :
— Le contraire de « l’un ou l’autre » est « ni l’un ni l’autre »
— Le contraire de « l’un et l’autre » est « non, pas l’un et l’autre ; pas les deux à la fois je veux dire ; c’est à dire que peut-être l’un, et peut-être l’autre, et peut-être même aucun, mais pas l’un-et-l’autre, c’est-à-dire qu’il y en a au moins un des deux pour lequel c’est non, vous comprenez ? »

Il est tout-à-fait normal que vous peiniez à formuler la négation de votre phrase, car il n’y a pas de formule pour cela. Votre deuxième proposition est probablement valide, mais inutile en pratique, car elle laisse trois possibilités (l’anglais mais pas le français ; le français mais pas l’anglais ; ni l’anglais ni le français).

Résumé avec un exemple plus simple.
— Un dessert et un café ? Oui.
— Un dessert et un café ? Non : cette négation ne sert pas à grand chose, parce qu’elle a trois déclinaisons :
— Un dessert et un café ? Non, juste un dessert.
— Un dessert et un café ? Non, juste un café.
— Un dessert et un café ? Non, aucun des deux.
La négation d’une phrase en ET doit toujours se faire avec un supplément d’explications.