Je me permets de vous faire part de mon avis, à propos du terme « personne » :

Je le conçois dans votre phrase, en tant que pronom indéfini : Je n’ai personne de disponible pour l’instant.

Maintenant, il est très maladroit d’employer le nom commun « personne » dans le sens de « être humain« , si l’on peut préciser de quel être humain il s’agit :
Vous direz « Nous cherchons des personnes de confiance »
Mais vous ne diriez pas « je n’ai pas d’être humain sous la main pour l’instant  « , n’est-ce pas ?

Et, pour répondre à votre question, le singulier et le pluriel peuvent convenir, c’est à vous de voir si vous parlez d’une ou plusieurs personnes.
Mes suggestions :
Je n’ai pas de chauffeur disponible / Je n’ai pas de vendeuses disponibles / je n’ai aucun technicien disponible ce jour-là, …