Un verbe pronominal réfléchi, c’est un verbe se construisant ordinairement avec l’auxiliaire avoir, mais qui, dans une phrase particulière, parce que le COD ou le COI représente la même personne (ou chose) que le sujet, est construit pronominalement. L’accord du participe passé suit alors les règles d’accord avec l’auxiliaire avoir : invariabilité, ou accord avec le COD antéposé.
* Réfléchi avec pronom COI :
— Elle a mis des claques à ses filles. Elle leur a mis des claques. Les claques qu’elle leur a mises.
–> Elle s’est mis des claques. Les claques qu’elle s’est mises.
* Réfléchi avec pronom COD :
— Elle a mis ses filles en travers de ma route. Elle les a mises en travers de ma route.
–> Elle s’est mise en travers de ma route.

Dans votre phrase, est-ce que vous utilisez un verbe se construisant normalement avec l’auxiliaire avoir ?
— Elle m’a mis à rire ? Tu nous as mis à crier ? Nous les avons mises à courir ?
Non, donc on a ici tout le contraire d’un verbe pronominal réfléchi.
L’expression « se mettre à + infinitif » signifie « commencer à + infinitif ». Elle ne s’emploie que pronominalement, sans aucune notion ni de COD ni de COI, a son sens propre, et ne comporte aucun sens réfléchi.
Le participe passé des verbes pronominaux qui n’ont de sens, ou qui n’ont ce sens spécifique, que pronominalement s’accorde avec le sujet.
— Je me suis mise à rire. Tu t’es mise à crier. Nous nous sommes mises à courir.