Vous avez raison de douter.
L’analyse grammaticale doit souvent précéder l’application d’une règle. Votre exemple illustre bien ce principe.

En effet, « le plus éloigné possible » n’est pas attribut de grimpeurs, mais un complément circonstanciel (lieu ou manière). Il serait d’ailleurs mieux d’écrire « le plus loin possible », ce qui clarifierait la question. Enfin, le singulier (le plus éloigné possible) met la puce à l’oreille : cela le différencie d’une tournure comme « les grimpeurs les plus éloignés ».

Donc, in fine, la meilleure tournure est : « Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus loin possible. » ou à défaut (familier) : « Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus éloigné possible ».
–