Dans votre exemple spécifique, haut est bien un adjectif (= situé en altitude). Il pourrait en effet être adverbe et invariable, mis pour hautement qui existe (un ingénieur hautement qualifié)  mais reste peu employé. Il serait alors suivi d’un adjectif ou d’un participe : Ils édifièrent la ville le plus haut possible.
NB Haut fait partie de ces mots (dits énantiosémiques en linguistique) qui ont intrinsèquement des sens opposés, inverses ou divergents (cf. louer ou hôte). C’est même un « cas d’école » puisqu’il existait déjà comme tel en latin où altus signifie à la fois élevé en taille, élevé en altitude, profond et éloigné. Pour ce dernier sens se reporter à la haute mer, ainsi nommée parce que c’est la partie qui va loin (et non parce qu’elle est profonde). Ces mots demandent toujours beaucoup d’attention car ils sont source d’ambigüité voire de contresens.