Je suis originaire de France, d’Espagne, d’Allemagne, etc.
Il se trouve en effet qu’en français il y a homonymie entre « d’Inde » et « dinde » (l’animal); c’est sans doute pour cela que vous entendrez plutôt je suis originaire de l’Inde. Il se peut aussi que ce soit parce que ce nom de pays ne contient qu’une syllabe, ce qui est rare.
Mais il est correct aussi de dire  Je suis originaire d’Inde.