Le complément « sans preuve de ses allégations » semble bien devoir se rattacher à un groupe nominal, c’est une apposition, qui doit être apposée à un élément précis.
— Sans fleurs, ce jardin semble vide. Sans la pluie, le voyage serait agréable. Sans amis, on s’ennuie.
Dans votre phrase, on comprend donc « sans preuve, sa condamnation... » ce qui sous-entend une « condamnation sans preuve« , et ce n’est pas le sens voulu.

Alors qu’est-ce qui est « sans preuve », dans votre phrase ? C’est bien difficile à dire. Probablement rien. Peut-être la personne condamnée :
— Sans preuve de ses allégations, il a été condamné
Mais c’est peu clair. Il ne faut pas hésiter à mettre des verbes ou des adverbes quand on a quelque chose à expliquer :
— N’ayant pu apporter de preuve de ses allégations, il a été condamné
En fait, et vous le dites clairement, ce sont les allégations qui sont sans preuve, mais il faut alors supprimer les preuves du complément :
— Sans preuve, ses allégations n’ont pas convaincu

C’est un complément circonstanciel signifiant « parce qu’il n’a pas apporté de preuve » que vous cherchez en réalité.
Pour s’approcher de votre phrase, il suffit peut-être de remplacer « sans preuve » par « en l’absence de preuve » pour que ce complément ne se rattache à rien et permette des constructions diverses :
— En l’absence de preuve de ses allégations, le tribunal a jugé que…
— En l’absence de preuve de ses allégations, il a été condamné.
— En l’absence de preuve de ses allégations, sa condamnation était évidente.

Une autre question est celle du référent des possessifs « ses » et « sa ». La réponse est probablement dans le contexte, mais un « ses » dans un complément, sans que le référent soit précisé dans la phrase, ça le fait moyen.