Les deux formes sont justes : peu importe la préposition que vous utilisez avec « continuer », les deux formes sont tout à fait justes ! Ainsi, vous pouvez écrire « continuer de » ou « continuer à » pour la même phrase sans faire d’erreur d’orthographe. « Continuer de » ou « continuer à » sont toujours suivis de l’infinitif.

Quelques précisions pour savoir comment choisir entre « continuer à » et « continuer de » :

Selon l’Académie française, l’usage de la préposition « de » serait plus littéraire. Il conviendrait donc d’écrire « continuer de… » pour un écrit plus formel. Au contraire « continuer à » semble d’un usage plus populaire.
« continuer à » semble indiquer une action qui dure dans le temps alors que « continuer de » ferait plutôt référence à une habitude.
« Il continue à boire » (action qui dure : il continue à boire son verre).
« Cet homme est un ivrogne, et, malgré ses promesses, il continue de boire » (habitude de boire).

Le Projet Voltaire observe une distinction quant au confort de prononciation : on préférera l’usage de « de » pour éviter une liaison malheureuse ou un hiatus. Par exemple, « j’ai continué à appeler », qui est plus agréable sous la forme « j’ai continué d’appeler ».
Dans l’usage, « continuer à » semble l’emporter sur « continuer de » :