* Il s’agit d’abord d’un faux nom de personne. Pour désigner une personne pas ce nom plaisant, on met une majuscule et on ne met pas de trait d’union :
— Ah ! te voilà, père la Joie ! (Zola)
— C’est encore le père la Vertu qui vient nous faire la morale…

* Puis cette personne, bien que fictive, devient pas antonomase un stéréotype. Et ce stéréotype peut être analysé comme un nom composé, en particulier parce qu’il n’y a pas d’autre analyse syntaxique possible : quelle serait en effet la fonction d’un article défini coincé entre deux substantifs ? Et si on a un nom composé, on met des traits d’union, c’est le principe.

* Le TLFi propose les deux versions, avec deux exemples : sans trait d’union et avec une majuscule, pour désigner une personne ; avec des traits d’union, accordable, et sans majuscule, pour désigner un stéréotype. C’est ce que je vous conseille.