Selon la norme du ministère de la Culture, gestionnaire de cette appellation, il n’y a pas lieu de mettre de majuscule du tout. À l’écrit, si l’on veut rester rigoureux, mieux vaut s’inspirer de la terminologie précise : la protection se décompose en inscription et classement au titre des monuments historiques.
Cela peut néanmoins paraitre surprenant et si vous n’avez pas besoin de cette rigueur, vous pouvez opter pour une seule majuscule à Monument (pas à l’adjectif qui suit) ou mieux pour des guillemets pour un meuble ou un immeuble quelconque ou par dérision : La niche de mon chien pourrait être classée « monument historique ».