L’une est du singulier
L’autre est aussi du singulier.

La conjonction de coordination « ou » est employée ici dans un sens exclusif : une date exclut l’autre. Donc, il n’y aura qu’une date à proposer : le singulier est obligatoire.

Pouvez-vous me proposer l’une ou l’autre date pour que nous nous rencontrions ? 
(il faut un sujet dans la subordonnée car celui qui fait l’action est différent de celui de la principale).