Bonsoir,

Dans une formule d’appel ou de politesse : OUI. Monsieur le Directeur, Je vous prie d’agréer, Monsieur le Directeur… Ce sont des majuscules de déférence.
Pour évoquer le directeur d’un organisme : NON. Le directeur de l’école, de la colonie de vacances, de l’entreprise Machin, d’un hôpital, d’un théâtre ; le directeur commercial, administratif, technique, du personnel, des ressources humaines, etc.