Le choix entre nos et notre aurait été possible – avec la nuance donnée par Dasmaka – si le sujet avait été nous : Nous devons entamer des démarches pour renouveler (chacun) notre carte / nos cartes (à nous tous), mais avec je, seul nos est possible : Je dois entamer des démarches pour renouveler ma carte + celle(s) de vous autres = nos cartes.