À ma connaissance, chacun a sa propre carte d’identité et le pluriel s’impose naturellement pour plusieurs demandeurs identifiés comme dans votre citation. Le singulier peut engendrer selon le contexte des confusions. Par exemple, « je dois renouveler notre carte d’abonnement » efface la nuance entre abonnement individuel et collectif (par famille, par groupe). 
Je ne vois guère que le cas spécifique d’un nous impersonnel (comme dans les sentences ou les proverbes) pour justifier un emploi du singulier : « L’Administration nous laisse beaucoup de temps pour renouveler notre carte d’identité. »

PS Malgré sa présumée clarté, la langue française n’a pas d’outil pour distinguer simplement le sens du pluriel et du singulier derrière un adjectif possessif. Il y a des dizaines de questions sur ce site pour le confirmer. Si le contexte n’est pas suffisamment explicite, il est donc nécessaire d’ajouter un mot ou de reformuler pour clarifier : « Ils donnèrent leurs propositions » ne dit pas s’ils ont collectivement des propositions communes ou individuellement des propositions personnalisées. Il faut par exemple ajouter respectives dans le second cas.