1. Conjugaison du verbe.
–> Selon le sujet.
« Il y a que… qui… » n’existe pas. Écrivez « il n’y a que… qui…« . C’est une négation introduisant une exception. L’exception présentée dans la proposition relative se conjugue plutôt au subjonctif, et son sujet est formellement le pronom « qui« , pronom qui a le genre et le nombre de son antécédent.
— Il n’y a que leur père qui puisse travailler
— Il n’y a que leurs mères qui soient prêtes à travailler

2. Choix du sujet.
— leur mère travaille ou leurs mères travaillent ?
Vu de l’extérieur, pour parler de plusieurs mères, c’est bien le pluriel qu’il faut utiliser :
— leurs mères travaillent…
C’est seulement en considérant le rapport de chaque enfant avec chaque mère qu’on utilise le singulier :
— ceux dont la mère travaille… ; ils savent tous que leur mère travaille…

3. Tout dépendra donc de votre phrase complète :
* Construction au pluriel, vue de l’extérieur :
— Ces enfants sont pauvres, car dans ce quartier il n’y a que leurs mères qui travaillent.
* Construction réfléchie au singulier :
— Ces enfants sont pauvres, car dans leur foyer il n’y a que leur mère qui travaille.