Bonsoir.
Lorsque le mot « saint » est utilisé pour désigner une fête, un lieu, une institution religieuses, il prend une majuscule et se lie à l’autre partie du nom par un trait d’union.
Ex. Le jour de la Saint-Valentin.

Pour Semaine sainte, comme pour les jours de la Semaine sainte, on utilise la majuscule pour le jour ou pour semaine, mais ma minuscule pour « saint ». Jeudi saint, Semaine saint.
Mais cette règle n’est pas appliquée par tous, et par exemple le Petit Robert ne met pas de majuscule.
Cordialement