Dans la pratique quotidienne (en France continentale en tout cas), les deux tournures se rencontrent. Malgré la différence de construction,  il n’y a dans les faits pas de nuance significative de sens et les gens les emploient indifféremment. Le factitif faire faire étant plus long, il est  moins courant dans la langue parlée. C’est un cas classique de métonymie (cf. le célèbre Caesar pontem fecit, « César fit un pont », au lieu de « fit construire un pont » exemple bien connu des grammaires latines).
À noter que l’expression similaire « passe le message à ton voisin » a été popularisée avec la chanson du groupe Tonton David (1996) reprise dans le film Un Indien dans la ville.