C’est bien la moitié de son esprit qui est éveillée. Si c’était l’esprit entier on n’en parlerait pas. Ce qui vous trouble, c’est que l’adjectif « éveillée » soit loin du nom commun « moitié ».
Pour trancher, une proposition :
Celui-ci agit avec la moitié éveillée de son esprit.
Celui-ci agit avec son esprit à moitié éveillé (à demi-éveillé).