1 Est-ce  du temps que nous avons besoin ?
2 Est-ce le temps (…)* dont nous avons besoin ?

Le pronom relatif reprend, dans la deuxième proposition (soulignée), le nom temps.
dont « contient » toujours l’idée exprimée par la préposition « de ; or,  elle déjà exprimée par « du » dans la phrase 1 et non dans la phrase 2.
Voici pourquoi « que » est suffisant en P1 et qu’il faut « dont » en P2.

* l’emploi de l’article défini est justifié par le contexte. En général il sera précisé; par exemple : le temps du repos

Est-ce peut-être de temps que nous avons besoin ? >
« De » est partitif : un peu de ou beaucoup de  ou un laps de
« Du »contient l’article défini = de le – Ce choix est donc  possible