Bonjour Virginie, vous trouverez des informations intéressantes à ce sujet sur cette page du Projet Voltaire qui récapitule les différentes nuances de sens qui peuvent exister entre ces deux tournures. Certaines références (comme le dictionnaire de l’Académie) considèrent continuer de comme plus littéraire que continuer à. Mais d’une façon générale, les deux formes sont quasiment équivalentes et peuvent en pratique être employées indifféremment. On peut aussi préférer l’une à l’autre pour éviter un hiatus, par exemple continuer d’avancer au lieu de continuer à avancer. Et au§delà de ces considérations, c’est aussi une affaire de goût (pour votre phrase, j’aurais personnellement une préférence (subjective) pour le temps continuait de passer).