Le sujet de participer est qui, pronom qui renvoie lui-même à pays, mot qui le précède immédiatement. Chacun est le sujet de aura. Donc : « Chacun des pays qui participent [ou mieux participant] à cette opération aura le temps de choisir une cible. »
Votre doute provient sans doute d’une autre forme possible de la phrase :
« Chacun des pays, qu’il participe ou non à cette opération, aura le temps de choisir une cible. » Dans ce cas, la partie en incise (isolée entre les virgules) se rapporte à chacun et le verbe reste au singulier.