Bonjour,

Il existe une légère nuance de sens entre les deux constructions.

En théorie :
Continuer à  signifie « prolonger une action commencée » ou « persister à être dans un état » :

« Continuez à travailler ainsi pendant six mois et vous serez prêt pour le baccalauréat ».
« Malgré tous les soins, le malade continue à se sentir fatigué ».

Continuer de  signifie « faire une action / être dans un état sans qu’il y ait d’interruption, sur une période donnée » :

 » Ils ont continué de l’aider jusqu’à la fin de leur vie.  »

En pratique :
En général, on choisit l’une des constructions pour des raisons d’euphonie.
Continuer de permet d’éviter l’hiatus : « Il continua d’aller mieux. » On évitera « Il continua à aller mieux ».
Inversement, on emploiera continuer à devant un verbe commençant par de- : « Ils continuaient à deviser joyeusement (plutôt que « Ils continuaient de deviser joyeusement »).

J’espère que mes explications ne sont pas trop confuses.

Bonne lecture.

Émeline
(mes sources : Le Dictionnaire Larousse et Dictionnaire des pièges et difficultés de la langue française-Bordas)