À l’origine, ce sont les questions qui sont « à choix multiple » (voir CNRTL I.A.4.). Chaque choix est multiple (au singulier) de la même manière qu’un objet est multicolore,  un animal omnivore, un ouvrier polyvalent ou, quelle chance, un trèfle quadrilobé.
C’est par une métonymie (un raccourci) récente que l’on parle de « questionnaire » à choix multiple, ce qui est courant mais un peu abusif puisqu’on ne choisit pas les questions mais les réponses prédéfinies aux questions.
Cela étant, au pluriel, on pourra utiliser grammaticalement le complément au singulier (des questionnaires à choix multiple) ou au pluriel (… à choix multiples). Comme souvent, en l’absence de différence de  sens, c’est le singulier qui est préférable car générique. Linguistiquement, le pluriel ne se marque que pour une réelle différence.