Le verbe « dépêcher »
* Il existe la construction pronominale « se dépêcher », signifiant « se hâter », où le verbe se conjugue selon son sujet :
— Ils se sont dépêchés. Elles s’est dépêchée de venir.
* Et il existe le construction transitive « dépêcher une personne » vers une autre personne, vers un lieu, signifiant « envoyer ». Ce verbe se conjugue avec l’auxiliaire « avoir » et la participe passé s’accorde éventuellement avec le COD s’il est antéposé, ce qui n’est pas le cas ici.
— Ils ont dépêché un expert à l’équipe d’enquêteurs. Ils ont dépêché une équipe à Marseille. Ils nous ont dépêché une équipe.
Le pronom « nous » est juste COI répondant à la question « dépêché à qui, auprès de qui ? » et n’a pas d’incidence sur l’accord.

Ce pronom COI « nous » est un peu pauvre et réducteur pour remplacer « auprès de nous », mais on n’a pas tellement le choix car il y a peu de pronoms disponibles. Mais on remplacerait avantageusement « ils nous ont dépêché un expert » par « ils ont dépêché un expert auprès de notre équipe » (j’ai changé le sens, mais c’est juste pour illustrer l’idée), comme ont peut préférer « j’ai envoyé une infirmière auprès de lui » à « je lui ai envoyé une infirmière ».

L’accord du participe passé dans « une équipe de trois personnes chargée de l’enquête » mérite une petite réflexion (une équipe de trois personnes qui est chargée de l’enquête / une équipe de trois personnes qui sont chargées de l’enquête), mais votre choix me semble le plus clair.