Sinon, je n’ai toujours pas de réponse sur la nature de « la lettre »…

J’ai bien compris qu’il s’agissait d’une mise en apposition, mais celle-ci peut être une proposition, un infinitif ou un nom.

Exemple :
>> L’idée de travailler me fatigue.

Nous avons bien une apposition réalisée  par « travailler » qui se rattache à « idée ».
Et dans ce cas la nature de « travailler » est un infinitif.

D’ailleurs il n’y a pas de virgule ici, puisque l’apposition est rattachée directement.

Dans mon exemple :

>> Mais puisque je l’ai faite cette lettre !

Je cherche encore la nature de « cette lettre ». lol.