Votre première tournure « il a été assuré par cette agence » ne convient pas, car ce n’est pas une agence qui vous assure contre quoi que ce soit.
Concrètement on souscrit un contrat dans une agence, un cabinet d’assurance, chez XXXXXXXXXXXX, pour se faire assurer ou faire assurer sa voiture, son violoncelle, contre XXXXX.
Votre deuxième tournure « il a assuré sa voiture dans notre agence » ne convient pas non plus, car ce n’est pas lui qui a assuré sa voiture.
–> Il a fait assurer sa voiture chez XXXXXXXX / dans notre agence.
Pour en revenir à votre question, « À compter de » signifie « À partir de » donc vous ne pouvez pas écrire « à compter du … au« .
Vous pourriez éventuellement dire « À compter du …. et jusqu’au …. ».

À noter qu’une date ne s’écrit pas comme vous le faites : on sépare les groupes de chiffres par un trait d’union en principe, ou éventuellement un slash, mais pas par un point car cela nuit à la lisibilité : sa voiture a été assurée du 11-10-2012 au 20-03-2022