Lorsque deux sujets — deux noms au singulier — sont liés par la conjonction ni, le verbe se met au singulier quand seul l’un des deux sujets pourrait accomplir l’action :
Ni Jean ni Michel n’est le père de cet enfant.
Lorsque les deux sujets pourraient accomplir conjointement l’action exprimée par le verbe, alors ce dernier se met au pluriel :
Ni la faim ni la soif ne l’ont fait sortir de sa tanière.

Quelques exemples :
Ni M. Fassiotti ni M. Curmi ne sera élu directeur.
Ni sa fille ni son fils n’a pu être désigné comme légataire universel.

Ni son mari ni son amant n’ont été entendus.
Ni son épouse ni sa famille n’ont pu l’inciter à se faire soigner.
Ni la chaleur ni la pluie ne l’ont fait écourter son séjour.
Ni son imagination ni sa sensibilité n’ont été exploitées.
(Source : Le Grand Livre de l’orthographe, Certificat Voltaire. Dominique Dumas).

J’écrirais votre exemple ainsi « ni le médecin ni le patient ne connaissent la composition du produit », car médecin et patient, conjointement, ne connaissent pas la composition du produit.