S’agissant de la fonction, il me semble en effet que « Premier » doit prendre la majuscule, peu importe qu’il n’y ait pas de titulaire désigné.
La logique est de distinguer l’institution de l’expression constituée d’un adjectif ordinal (premier) et d’un nom commun. Untel est le premier ministre à avoir démissionné pour abus de drogues. 
De même, les institutions prennent une majuscule : le Gouvernement, le ministère des Armées, le Sénat, l’Assemblée nationale.