Les cheveux coupés court.
Si on remplace cheveux par chevelure que dirait-on ?
La chevelure coupée courte ou coupée court ? 
Cela se discute.
Mais si on choisissait un autre  adverbe :
Les pommes coupées fin (fines?)
Le contraire serait plutôt  grossièrement que épaisses

Il semble donc que les deux soient acceptables avec une préférence pour l’adjectif employé comme adverbe du verbe.

De nombreux adjectifs sont employés comme adverbes en français, souvent parce que l’usage n’a pas ou peu développé l’adverbe spécifique correspondant. Dans le  cas en exemple courtement ne s’emploie pas et c’est l’adjectif qui en tient lieu, mais il reste alors invariable.
Il ‘est pas toujours évident de détecter la nuance, d’autant que l’Académie française à toléré depuis longtemps l’accord pour certains cas : arriver bons (largement) derniers, des fleurs fraiches (fraichement) coupées et quelques autres considérés comme des archaïsmes.
Dans le cas de couper court, il s’agit de l’adverbe comme expliqué par l’Académie française et comme attesté par l’usage largement dominant dans les textes (voir statistiques).