Sous le pont Mirabeau coule la Seine
Et nos amours
Faut-il qu’il m’en souvienne
La joie venait toujours après la peine

Il faut considérer la strophe en entier.
Sur le plan strictement syntaxique, la Seine est le seul sujet et nos amours est sujet réel du verbe souvenir. Comprendre : faut-il qu’il me souvienne de mes amours (avec ellipse de la préposition).
Cependant, la poésie étant aussi un langage sonore et polysémique, et si on dit ce passage plutôt qu’on ne le lit, on peut entendre AUSSI que les amours coulent avec la Seine sous le pont Mirabeau. En ce cas Faut-il qu’il m’en souvienne peut âtre rattaché aux deux premiers vers ou/et au dernier.
Ce qui permet d’avoir simultanément ces différents sens est -entre autres- l’absence de ponctuation. On a là un exemple de l’intérêt qu’il peut y avoir à ne pas ponctuer.

Ce gag court les sites d’orthographe depuis un bon moment.
Si Apollinaire a écrit ainsi (le manuscrit le confirme), c’est qu’il faut lire les vers non ponctués en conséquence, pas les réécrire à sa convenance. Il vaut mieux alors se reporter aux analyses qui ont pu être faites de ce poème spécifique et de son œuvre en général, les surprises de construction y étant courantes, ce qui en fait le charme et l’originalité.