Vos deux énoncés ne sont pas comparables.

– Zéro est un déterminant numéral qui indique la quantité nulle, par conséquent le substantif qui suit se met obligatoirement et uniquement au singulier :

Zéro erreur
Une erreur
Deux erreurs
Des erreurs

– Pas de  est un adverbe de négation qui dans votre cas nie la pluralité (puisque la version non négative de la locution est : faire des erreurs), par conséquent le substantif qui suit est au pluriel.
Est-ce que tu as fait des erreurs > Non, je n’ai pas fait d’erreurs.

Avec pas de, c’est le contexte qui détermine le nombre. Illustration:
Un être humain a des yeux, on nie le pluriel : il n’a pas d’yeux.  Il n’a pas d’œil.
Un cyclope a un œil, on nie le singulier : il n’a pas d’œil.  Il n’a pas d’yeux.