C’est un grand classique : les deux sont possibles (voir par exemple ici ou ci-dessous un extrait de Grevisse).

 La pluie tombait dru > adverbe = La pluie tombait « druement ».

La pluie tombait drue > adjectif = la pluie tombait et elle était drue (idéalement, il faudrait une virgule après pluie).