Le pronom me doit être ici vu comme un COI (ce qui a pris à moi). En passant à la troisième personne, cela apparaît plus clairement : on dit ce qui lui a pris (COI) (et non ce qui l’a pris (COD)), ce qui leur a pris (et non ce qui les a pris), etc. Donc : « Je ne sais pas ce qui m’a pris. »

Si on remplace le pronom par une personne ou un pronom tonique,, ou même par la 3e personne,  on voit bien que le ‘me’ est un COI :
Je me demande ce qui a pris à Charlotte  pour réagir ainsi > mais qu’est-ce qui lui a pris ?  et qu’est-ce qui t’a pris, à toi, Marie, d lui répondre sur ce ton?

Une réponse tardive : bien que l’usage (commun et littéraire) semble nettement privilégier la construction indirecte à la troisième personne, on peut s’étonner que « quelque chose prenne à quelqu’un. »  Comme l’expression est plutôt familière, cela a dû se développer en dehors des préconisations académiques. L’idée est bien qu’un sentiment, une émotion, un besoin s’empare de quelqu’un, le « prend » au sens presque propre, souvent contre son gré.
Cela explique que la construction directe se trouve aussi, même en littérature. On ne peut pas parler d’incorrection et les deux formes sont justifiables.