Si on veut faire simple, on traite tous ces syntagmes de la même façon : ce sont des locutions verbales dont l’élément nominal n’est pas analysable.

Si on veut subtiliser l’analyse, on constatera – pour reprendre vos deux exemples – que malgré l’identité formelle (verbe avoir + substantif sans déterminant) avoir peur et avoir froid ne se comportent pas de la même façon et ne sont donc pas identiques. En effet, peur est moins lié au verbe que froid, puisque qu’on peut dire la peur que j’ai eue, avec peur = COD de avoir et donc accord du participe passé, puisque ce COD est placé avant l’auxiliaire, alors qu’on ne peut pas dire le froid que j’ai eu.

Ainsi, avoir froid sera considéré comme une locution verbale (> c’est l’ensemble verbe + nom qui prédique) dont les éléments font bloc et ne sont pas analysables, alors que avoir peur sera considéré comme une locution à verbe support (> c’est uniquement le substantif qui prédique, le verbe n’est là que comme support des marques de la personne et du temps) dont les éléments sont analysables.

Le fait que peur est prédicat, alors que froid ne l’est pas se révèle dans la possibilité pour le premier de former un groupe nominal, ce qui n ‘est pas le cas pour le second :
X / Il a eu tellement peur que ça l’a tétanisé > La peur de X / Sa peur l’a tétanisé.
X / Il a eu tellement froid que ça l’a tétanisé > Le froid de X / Son froid l’a tétanisé.

Si vous appliquez ces deux tests à avoir raison, vous constaterez qu’il s’agit d’une locution verbale :
Il a eu raison et cela lui a permis de remporter le concours.
La raison qu’il a eue lui a permis de remporter le concours.
Sa raison  lui a permis de remporter le concours.