Grâce à la lettre qu’a écrite Sylvie…. (phrase inachevée)
« Que » est le COD. C’est un pronom qui remplace « lettre ».
J’écris une phrase complète pour pouvoir expliquer : Grâce à la lettre qu’a écrite Sylvie il a pu obtenir cet emploi de jardinier.
Les deux phrases de base sont
– Grâce à la lettre  il a pu obtenir cet emploi de jardinier.
– Sylvie a écrit cette lettre

« Cette lettre » qui a la fonction de COD  a été remplacé par le pronom (relatif) « que »  qui prend sa fonction, mais aussi son nombre et son genre.
Le participe passé « écrite » étant accompagné de l’auxiliaire avoir s’accorde avec lui, parce qu’il est placé avant