elle s’est affublée d’un nez de clown : puisque le verbe est suivi de la préposition « de », il faut utiliser « dont » dans la subordonnée relative :
le nez de clown dont elle s’est affublée.

Elle s’est mis un nez de clown au visage : puisque le verbe n’est pas suivi d’une préposition « de », on utilise « que » : le nez de clown qu’elle s’est mis au visage.