Bonjour,

Pour les règles générales d’emploi du pluriel ou du singulier après un sujet coordonné par ou, voyez les autres réponses, qui sont pertinentes.

Je me pose en revanche comme Joëlle  la question du sens de votre exemple. Il semble signifier que les deux personnes ont des préoccupations communes : elles partagent certaines questions l’une avec l’autre. Dans ce cas, dire  *l’une ou l’autre partage(nt) une question n’a aucun sens. Si vous partagez avec quelqu’un, vous êtes deux , c’est donc obligatoirement la conjonction et suivie du pluriel : l’une et l’autre partagent…