Rien n’est plus fluctuant en français que l’usage du trait d’union. On trouve donc beaucoup de différences selon les sources et selon l’époque car le trait d’union est souvent une transition entre la simple juxtaposition de deux mots et la soudure complète lorsque l’association a pris son autonomie sémantique.
Dans le cas de tiers(-)payant, il est évident que cette association a pris un sens bien spécifique, éloigné de ses deux composants d’origine. Parleriez-vous de quart payant, comme si les mots étaient indépendants ? Le trait d’union est donc souhaitable pour marquer cette unicité.
Ce raisonnement vaut pour des centaines de tournures devenues de vrais mots composés, y compris trait-d’union lui-même dont personne ne sait pourquoi on l’exonérerait. Mais en France on préfère les listes de cas tordus à l’application d’un principe simple et on adore perdre son temps à pinailler. Mieux vaudrait parler latin, c’est plus simple…