Si on parle d’une seule mère, c’est bien sûr le singulier qui convient :  Il n’y a que leur mère qui travaille (dans cette fratrie).

Si on parle de plusieurs mère, le singulier et le pluriel sont possibles :

Il n’y a que leur mère = dans ces différentes familles, seule la mère travaille.
Il n’y a que leurs mères = les mères de ces différentes familles sont les seules à travailler.

Le problème avec le singulier, c’est qu’il va entrainer un accord sylleptique : l’antécédent est au singulier (leur mère), le pronom relatif (qui) et donc le verbe dont il est le sujet au pluriel :
Il n’y a que leur mère qui travaillent.

Il est donc préférable d’opter pour le pluriel :
Il n’y a que leurs mères qui travaillent.