Vous écrivez :
Elle put voir ma pile de linge étalé(e) sur un canapé-lit : si le linge est empilé, il ne peut être étalé, de même pour une pile ; elle ne peut être étalée.

Donc si vous insistez sur le linge, Elle put voir mon linge  empilé sur un canapé-lit, que j’ai enlevé à la hâte pour lui offrir un siège.
Si vous tenez à la pile : Elle put voir ma pile de linge posée sur un canapé-lit, et que j’ai enlevée à la hâte pour lui offrir un siège.