Le pléonasme est le fait d’exprimer plusieurs fois, volontairement ou non, la même information dans la phrase. On dit aussi tautologie dans un sens voisin.
Le pléonasme est tout à fait admissible quand il sert à donner à l’expression une force particulière, c’est une figure de style lorsque l’effet est recheché par le rédacteur ou la personne qui parle. On en rencontre souvent en littérature, le plus connu est le fameux « Je l’ai vu, dis-je, de mes propres yeux vu, ce qui s’appelle vu… » de Molière dans Le Tartuffe.
L’Académie française donne aussi un exemple qu’elle accepte :« Il répète dix fois la même chose ».
Le pléonasme joue parfois pour donner un équilibre à la brièveté d’un mot ou d’une locution, aussi utile pour la prosodie que pour assurer le sens :
— La marche à pied est excellente pour la santé .
— Je tourne en rond (plus satisfaisant que « je tourne », trop bref).
Le pléonasme peut avoir un rôle dynamique : Cette grossièreté lui fit dresser les cheveux sur la tête.
Il est souvent employé en poésie : l’azur bleu, l’onde humide.

Le pléonasme est souvent plus fautif que bienvenu. On peut en citer un, malheureux et regrettable, d’un président qui, en parlant de la crise avait dit : « il y a eu des antécédents dans le passé »…
D’autres pléonasmes sont connus, la liste est longue : un hasard imprévu, la panacée universelle, prévoir à l’avance, etc
Un pléonasme est dit vicieux lorsqu’ils n’ajoute rien à la force de l’expression : un petit nain, une petite maisonnette, etc.
Il existe aussi le pléonasme grammatical ou redondance. Le Certificat Voltaire le définit ainsi : « expression sous deux formes différentes, d’une même relation entre des éléments de la phrase ».
Il prend comme exemple de et dont, en précisant que dont signifiant de qui, de quoi contient déjà « de ».
Il est ainsi incorrect d’écrire « C’est de ce village marocain dont il se souvient », car le de et le dont sont redondants. On écrira « C’est de ce village marocain qu’il se souvient » ou « C’est ce village marocain  dont il se souvient ».
Hélas, le pléonasme fautif est plus répandu que le pléonasme heureux, qui est une figure de style, mais ce n’est pas « une faute de français dans tous les cas », pour reprendre vos termes, l’effet en est parfois recherché.