Les deux constructions sont possibles.
Il continue à s’occuper de sa famille / il continue de s’occuper de sa famille

Pour votre information :
D’après l’Académie, on doit se servir de continuer à quand il s’agit d’une action commencée et que l’on continue, et de continuer de quand il s’agit d’une action qu’on a l’habitude de faire. Cet homme, tenant son verre, continue à boire ; c’est-à-dire il achève ce qu’il avait commencé ; mais cet homme est un ivrogne, et, malgré ses promesses, il continue de boire, c’est-à-dire il persiste dans ses habitudes d’ivrognerie. Mais cette distinction, qui n’est pas fondée sur le sens des prépositions à ou de, ne l’est pas non plus sur les exemples des auteurs qui usent, ou indifféremment ou suivant l’oreille, des deux prépositions. Laveaux voulait que à indiquât une intention dirigée vers un but, et qu’on se servît de la préposition de quand rien n’indiquait un but, une intention ; cette distinction, fondée sur la conception abstraite des rapports exprimés ordinairement par à et de, n’est pas appuyée par l’usage.