Votre question revient souvent mais ce n’est pas par hasard. Elle est intéressante
Le présentatif « c’est » est un impersonnel dont le sujet est « ce ». *Il peut également être employé dans des expressions figées : c’est à mon tour, c’est-à-dire, c’est pourquoi, ce n’est pas que…
* autres présentatifs : il y a – voici/voilà
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C’est peut* subir la flexion temporelle :  c’était hier –  ce sera cela ou rien.
Il peut* également varier en nombre et s’accorder avec l’attribut de c’.  C’est un cheval/ce sont des chevaux.
Cet accord n’est jamais obligatoire, et il est même quelquefois impossible
– par exemple devant nous et vous : C’est nous /°ce sont nous (° signalant un énoncé impossible)
– et dans des expressions figées, comme si ce n’est, est-ce, est-ce que …

C’est à l’intérieur de l’église qu’il y avait les sculptures avec lesquelles Lewka et Leïla étaient devenus familiers.E. Triolet Le Monument
et, cette fois, elle venait de revoir la ville tragique dans un éclaboussement de sang. C’était une trouée immense, Zola L’œuvre
Exemples donnés dans : Valeurs énonciative et représentative des ’présentatifs’ C’EST, IL Y A, VOICI/VOILA: effet point de vue et argumentativité indirecte du récit – Alain Rabatel
Pour aller voir plus loin : Microsoft Word – 17-2001h-presentatif-rabatel.rsp9.doc – document

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Pour vous répondre plus directement :
On peut avoir :
C’est les moustiques qui m’ont réveillée  et : ce sont les moustiques qui m’ont réveillée
(on a l’habitude de considérer que l’emploi de ce sont, qu’on accorde avec « moustiques » est plus soutenu et je vous conseille de  vous conformer à cet usage lors d’examens ou énoncés soumis à correction).
 Il y a une chose qui m’énerve, c’est les moustiques : dans cette phrase, deux référents au pronom « ce » sont en concurrence : « chose », et « moustiques » : un singulier et un pluriel. Ceci arrive souvent parce que le présentatif « c’est » jour un rôle de charnière entre deux énoncés (que le premier soit exprimé ou non).

Le plus terrible, c’est les tremblements de terre – mon plaisir, c’est les glaces à la vanille – leur fierté c’est leurs enfants.

Raison de plus pour choisir le singulier.

Pour compléter le message ci-dessus, cet extrait :

L’ancien français conjuguait à toutes les personnes le verbe être et considérait le démonstratif comme un attribut : ce sui(s)je, ce es tu, ce est il, ce sommes nous, ce estes vous, ce sont il(s).
C’est en moyen français que c’est moi vient durablement concurrencer ce suis je, ce sommes nous, ce sont eux. En effet, en ancien français, « ce » était attribut puisque le pronom sujet était postposé. Or, progressivement, en raison de sa position, on a interprété « ce » comme le sujet de «être», et non plus l’attribut. Le verbe s’est donc figé .
En outre J. Damourette et E. Pichon considèrent l’accord au pluriel « ce sont » comme « un reste bâtard de l’ancien français maintenu artificiellement par des raisonnements creux de puristes.
« C’est cela que c’est, la tragédie », ou les présentatifs dans Electre de Giraudoux – Cécile Narjoux

Merci beaucoup pour votre réponse très fournie. À dire vrai je m’attendais à ce qu’il y ait une règle précise, mais si je comprends bien, la question n’est pas complètement tranchée. Il est préférable, dans le cas  mis en avant, d’employer le singulier pour la simple raison que « chose » est au singulier ; mais, si je transgresse cette règle, on ne m’enverra pas au cachot. C’est bien cela ?