Bonjour,

Peur est un nom.

Avoir peur est une locution verbale dans laquelle le nom peur est invariable.

Dans cette expression figée l’article est absent comme dans un grand nombre de syntagmes verbaux et de syntagmes prépositionnels tels que :

Chercher noise, donner congé, rendre justice, garder rancune, etc.
Avoir à cœur, aller à cheval, passer à gué, perdre de vue, prêter sur gages, affirmer sous serment etc.

Dans certains cas l’expression change de sens selon qu’on emploie ou qu’on omet l’article :
Demander raison et demander la raison.
Faire feu et faire du feu.

Toutefois cette expression (avoir peur) peut être modifiée par l’adjonction d’un déterminant ou d’un adjectif :

Il a eu une peur bleue.
J’ai eu la peur de ma vie.