Non le saint chrême ne prend pas de majuscule : tout relève du nom commun.
Chrême (du grec χρῖσμα / khrĩsma, « onguent, parfum ») est un mélange d’huile végétale naturelle et de parfums, destiné à l’onction et utilisé dans certains sacrements chrétiens, comme le baptême, la confirmation ou l’ordination.
Toutefois, certains écrits le présentent avec une double majuscule et un trait d’union. Il s’agit d’un abus.
Pour les saints (les personnages), voir en complément cet article.
http://www.projet-voltaire.fr/blog/regle-orthographe/saint-ou-saint

On abuse des majuscules. À cet égard, il faut être parcimonieux et ne pas en mettre partout sous prétexte de religion, de prestige ou quoi que ce soit.
Ainsi, on écrira, outre le saint chrême, bien sûr :
La vierge Marie.
Le Très-haut, mais l’Esprit Saint (Saint n’est pas ici simple adjectif, il est substantivé).
Le conseil général (départemental, désormais).
Le ministre de l’Éducation nationale, etc.