Met-on = verbe mettre, forme interrogative, 3e pers.du singulier du présent = Vous demandez à quelqu’un s’il vous conseille de mettre près de la porte le fauteuil vert ou le fauteuil bleu =  Met-on le vert ou le bleu ?  (le « on » désigne vous deux)
Mettons = verbe mettre, forme impérative, 1ère pers. du plu = la personne vous répond sur un ton de conseil ou avec une nuance « autoritaire » (impératif) : Mettons le bleu, ce sera plus discret.
Conclusion : mettons le vert ou le bleu ? n’existe pas, donc « met-on » pour une question 

« Met-on le vert ou le bleu ? » est une phrase interrogative juste. Elle est elliptique du nom.
« Mettons le vert ou le bleu ? » est une phrase interrogative dans laquelle il manque le sujet. Elle n’est pas correcte. La syntaxe correcte est « Mettons-nous le vert ou le bleu ? ».

Il ne faut pas se focaliser sur l’homophonie. Il faut au contraire toujours revenir au sens .

Par exemple :
Dois-je écrire : les hommes ferment la porte ?
Dois-je écrire : les hommes fermes la portent ?
On ne peut le dire qu’en contexte.
Ajoutons alors du contexte :
Des hommes sortent de la maison. Les hommes ferment la porte.
Elle s’est évanouie dans la rue. Des hommes qui la soulèvent. Elle est en sécurité parce que sait que des hommes fermes la portent.
Il suffit d’ailleurs de changer la personne ou la structure :
Met-on le vert ou le bleu ?  mets-tu le vert ou le bleu ? Est-ce que tu mets le vert ou le bleu ?
Mettons le vert ou le bleu >> mets/mettez le vert ou le bleu. Il faut que nous mettions le vert ou le bleu.

On voit ainsi apparaître ici nettement deux formes de phrases différentes
1 = interrogative  : on cherche à obtenir une information
2 = injonctive : on cherche à faire faire quelque chose à quelqu’un