Les médecins savent prévenir et guérir de nombreuses maladies.

Oui le COD est en italique souligné. 

Pour reconnaître un COD la question « quoi ? » n’est pas satisfaisante.
Je me demande s’il est possible de dissocier, dans l’analyse, les semi-auxiliaires de l’infinitif qui les suit ; si au contraire, ils ne formeraient pas un tout.
La démarche qui consiste à poser la question « quoi ? » juste avant le mot suspecté d’être un COD n’est évidemment pas satisfaisante.
La pronominalisation ne marche pas :
Les médecins savent prévenir et guérir de nombreuses maladies —> °les médecins le savent
On dirait : les médecins savent le faire.  Autrement dit on retombe sur savoir + infinitif
Contrairement à : les médecins savent qu’il est malade —> les médecins le savent : la proposition subordonnée est bien COD.

La transformation passive ne marche pas :
Le chat mange la souris –> la souris est mangée par le chat
Mais ici :
Les médecins savent prévenir et guérir de nombreuses maladies —> °prévenir et guérir de nombreuses maladies est su par les médecins
Pouvons-nous conclure que les infinitifs qui suivent les semi-auxiliaires ne sont pas des COD ? qu’il y a coalescence entre le semi-auxiliaire et l’infinitif ?

Je m’amuse toujours des tentatives de définition du « complément d’objet direct ». Ce concept linguistiquement aberrant a été élaboré par le système scolaire de la IIIe République uniquement pour cautionner et mettre en oeuvre la règle  baroque d’accord du participe après l’auxiliaire avoir. Voir le Ngram de fréquence très parlant pour cette formule.
Il est donc voué à ne causer que des soucis, comme toute construction contre nature des grammairiens. Mais cela est une autre histoire…